二项式估计 - 彩色打印版
如果 \(x\) 很小，使得 \(x^3\) 及更高次项可以忽略，那么：
\((1+x)^n \approx 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2}x^2\)
• 保留常数项和 \(x\) 的一次项
• 保留 \(x^2\) 项（如果需要更高精度）
• 忽略 \(x^3\) 及更高次项
• 根据精度要求决定保留项数
步骤1： 展开 \((1-3x)^5 = 1 - 15x + 90x^2 + \ldots\)
步骤2： 乘以 \((2+x)\)
\((2+x)(1-3x)^5 = (2+x)(1-15x+90x^2+\ldots)\)
\(= 2 - 30x + 180x^2 + x - 15x^2 + 90x^3\)
\(= 2 - 29x + 165x^2 + 90x^3\)
步骤3： 忽略 \(x^3\) 项：\(\approx 2 - 29x + 165x^2\)
步骤1： 将表达式写成 \((1+x)^n\) 的形式
步骤2： 展开前几项
步骤3： 忽略高次项
步骤4： 代入具体数值计算
\((1+x)^n \approx 1 + nx\) （当 \(x\) 很小时）
\((1+x)^n \approx 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2}x^2\) （更高精度）
\((1-x)^n \approx 1 - nx\) （当 \(x\) 很小时）
\((1-x)^n \approx 1 - nx + \frac{n(n-1)}{2}x^2\) （更高精度）
\((0.99)^6 = (1-0.01)^6 \approx 1 - 6(0.01) = 0.94\)
使用更高精度：\(\approx 1 - 6(0.01) + 15(0.01)^2 = 0.94 + 0.0015 = 0.9415\)
估计 \((1.02)^8\)：
\((1.02)^8 = (1+0.02)^8 \approx 1 + 8(0.02) = 1.16\)
使用更高精度：\(\approx 1 + 8(0.02) + 28(0.02)^2 = 1.16 + 0.0112 = 1.1712\)
微芯片公司建模：
\(P(\text{no fault}) = (1-p)^n\)，其中 \(p < 0.001\)
当 \(n = 200\) 时：
\((1-p)^{200} \approx 1 - 200p + 19900p^2\)
• 数值计算和近似
• 工程系统分析
• 概率计算
• 科学计算
百分比误差 = \(\frac{|实际值 - 近似值|}{实际值} \times 100\%\)
Percentage error = \(\frac{|actual - approximate|}{actual} \times 100\%\)
• 选择合适的近似阶数
• 根据精度要求调整
• 平衡精度和计算复杂度
• 进行误差分析
1. 熟练掌握二项式展开的前几项
2. 理解忽略高次项的条件
3. 多做练习，熟悉各种近似计算
4. 注意误差分析和精度控制
1. 求 \((1-\frac{x}{10})^6\) 的前四项
2. 估计 \((0.99)^6\) 的值
3. 证明 \((2+x)(1-3x)^5 \approx 2 - 29x + 165x^2\)
4. 求 \((2-x)(3+x)^4 \approx a + bx + cx^2\) 中的 \(a, b, c\)
5. 估计 \((1.02)^8\) 的值
6. 计算 \((0.995)^{30}\) 并分析误差
何老师 用心做国际教育